La comunicazione, l'arte, l'estetica 

 

Saggio II 

 Luciano Severino

Era nuova contesto nuovo

 Il contesto per l'arte dei secoli XX e XXI

 

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La teoria delle catastrofi

Il termine «catastrofe»

Il termine «catastrofe»(dal latino tardo catastro°phe(n), che proviene dal greco katastrophé 'rivolgimento, rovesciamento) non ha, nel suo significato etimologico, connotazioni negative. Esso assume un significato tecnico nella Poetica di Aristotele, dove indica il momento in cui si scioglie l'intreccio, e quindi rappresenta il punto critico della tragedia, caratterizzato dal passaggio del protagonista da uno stato di felicità a uno di infelicità. Si tratta di un cambiamento repentino, che tuttavia è sottoposto a una serie di regole dell'arte tragica, in modo da risultare assimilabile, al concetto di catastrofe elaborato da René Thom (nato nel 1923)

La teoria delle catastrofi  

Gli scienziati usano classificare i fenomeni naturali in due grandi categorie: quelli continui e "regolari" (come la rotazione della Terra o il fluire della corrente elettrica nel filamento di una lampadina) e quelli discontinui o "improvvisi" come la divisione di una cellula o una scarica elettrica). I fenomeni del primo tipo sono trattati dall'analisi matematica, una disciplina nata circa trecento anni fa con Newuton e Leibiniz e sviluppatasi poi rigogliosamente; quelli del secondo tipo non hanno invece avuto nessuna teoria che li inquadrasse globalmente, almeno fino a pochi anni fa.

Le basi si una nuova teoria adatta a trattare (qualitativamente più che quantitativamente) questi fenomeni sono state gettate solo negli anni Sessanta. Questa nuova teoria detta appunto teoria delle catastrofi, è stata esposta compiutamente per la prima volta nel 1972 dal suo creatore, il francese René Thom, nel libro Stabilità strutturale e  morfogenesi.

Una teoria generale 

Anche se la teoria delle catastrofi è nata in un campo strettamente matematico, la sua importanza risiede nel progetto di geometrizzazione di quelle scienze che hanno resistito a lungo ad un'analisi matematica: la biologia e le scienze umane, vale a dire le scienze ``inesatte''. In questo modo, essa si differenzia dalle cosiddette teorie scientifiche in senso stretto, perché non richiede necessariamente una conferma sperimentale. 

René Thom afferma:

"Innanzitutto bisogna aver chiaro che la teoria delle catastrofi non è una teoria scientifica nel senso usuale del termine. Non è cioè una teoria scientifica come lo sono, per esempio, la teoria della gravitazione di Newton, la teoria dell'elettromagnetismo di Maxwell o anche la teoria dell'evoluzione di Darwin. Da teorie del genere si ha il diritto di chiedere che siano, in qualche senso, confermate dall'esperienza, che si possano cioè addurre argomenti sperimentali a loro favore. Ma la teoria delle catastrofi non deve affatto soddisfare questa richiesta. Il termine ``teoria'' va inteso in un senso molto particolare: direi piuttosto che si tratta di una metodologia, se non di una sorta di linguaggio, che permette di organizzare i dati dell'esperienza nelle condizioni più varie."

Da questo brano, escono due punti importanti, costanti negli scritti dei seguaci della teoria delle catastrofi:

1.  il rifiuto di accettare il controllo sperimentale tra i criteri che danno diritto di esistenza ad una teoria scientifica; 

2. la ricerca di una metodologia capace prima di tutto di classificare fenomeni di diversa natura.

L'esigenza empirica (il controllo sperimentale) lega necessariamente la generalità della teoria alla contingenza dei dati dell'esperienza. La negazione di tale esigenza può indurre la teoria delle catastrofi a generalizzare la portata delle applicazioni (teoriche, s'intende), senza che questa estensione debba incidere sulla teoria stessa.

L'uso del termine "catastrofe" in questa sede si riferisce a eventi, che passano improvvisamente da un comportamento all'altro. Questi eventi non si hanno solo nelle scienze esatte, nella biologia o nella tecnologia, ma anche in economia (un crollo in borsa) nel comportamento sociale o singolo di uomini o animali (dal raptus omicida alla rivolta in carcere, dall'improvvisa aggressione di un cane al drammatico sciamare delle locuste) e così via. l'interesse della teoria sta proprio nell'amplissima gamma di casi cui è applicabile; essa non fornisce evidentemente soluzioni esatte in ogni caso, ma piuttosto"modelli" che servono a chiarire come questi fenomeni si sviluppano e perché, improvvisamente diventano "catastrofici".

René Thom, in un'intervista del 1988, afferma quanto segue:

"La teoria delle catastrofi ha un programma che è facile da esporre: si tratta di spiegare le forme naturali. Quando posiamo il nostro sguardo sul mondo, costatiamo che l'universo non è un caos, che è diviso in forme relativamente distinte, ben separate le une dalle altre. E' più simile all'ordine di un cosmo che non un caos. Da questo punto di vista, ciò che la teoria delle catastrofi tenta di fare è di esplicare l'origine e la successione delle forme naturali così come le percepiamo nel mondo che ci circonda. 

Questo punto di vista della teoria delle catastrofi è abbastanza nuovo, nel senso che essa si propone di edificare una teoria che spieghi la genesi delle forme indipendentemente dal substrato materiale che le compone. Questo ha qualcosa di un po' paradossale, perché sappiamo per certo che una nuvola non ha la stessa consistenza di un blocco di marmo, e che di conseguenza la permanenza delle forme è strettamente legata alla natura del loro substrato. Non ci sono dubbi sul fatto che la natura del substrato abbia effettivamente un ruolo di primo piano nel determinare il carattere più o meno permanente, o al contrario più o meno transitorio, di una forma. Ma, ciononostante, la teoria delle catastrofi adotta un punto di vista risolutamente indipendente dal substrato. In altre parole, ci si pone in un'ottica per cui c'è qualcosa come un etere soggiacente che riempie tutto lo spazio. Una materia prima, avrebbe detto Aristotele. Questa materia prima è sottomessa a delle sollecitazioni che le fanno adottare questo o quell'altro tipo di materia. Quello che la teoria delle catastrofi propone sono gli schemi generali che permettono di spiegare la genesi delle forme.

Facciamo l'esempio del piano della scrivania, che è qui davanti a me: abbiamo uno spigolo che separa la superficie orizzontale della scrivania dalla parete verticale. Questo spigolo per me è un luogo di catastrofe, perché separa due superfici che hanno delle funzioni e degli orientamenti diversi. La natura del substrato è evidentemente la stessa: dell'aria da una parte e del legno dall'altra. Ma se si vuole risalire all'origine delle forme, ci si renderà conto che questo spigolo trae origine dal fatto che l'asse di legno che costituisce la scrivania è stata inizialmente segata da una sega, diciamo metallica, il cui disco ha tracciato una linea di contorno nel legno dell'asse. Ed è il conflitto fra l'acciaio della sega e la materia legno che ha generato la forma.

La teoria delle catastrofi, se volete, ritorna alla vecchia idea eraclitea che il conflitto è il padre di tutte le cose. Qualsiasi forma deve la sua origine ad un conflitto."

La descrizione dei fenomeni di instabilità

Il linguaggio matematico creato da René Thom permette di descrivere i fenomeni di instabilità, le forme di mutamento che si possono osservare in un sistema. Altri autori quali Waddington e Zeeman solo per citarne alcuni, hanno fornito ulteriori contributi. Le catastrofi elementari definite da Thom permettono di descrivere una gamma di dinamiche sottostanti agli sviluppi possibili sia di strutture organiche che inorganiche. Egli nota la stabilità qualitativa di una vasta gamma di processi naturali dalle forme assunte dalla sabbia sul fondo del mare alle dinamiche di attacco-fuga studiate dagli etologi e definisce la catastrofe come repentino passaggio da uno stato potenziale minimo ad un altro di potenziale minimo o di equilibrio stabile. Sulla base di ciò egli giunge a descrivere una serie di catastrofi, via via più complesse la cui caratteristica è

Alcuni esempi

Prima di procedere con ulteriori spiegazioni vogliamo porgere il seguente esempio che consente immediatamente di comprendere di cosa stiamo parlando.

Un esempio eclatante ci viene dalla percezione delle "figure ambigue" in cui è possibile l'emergenza di una figura sullo sfondo od il suo opposto. Quando il meccanismo percettivo è operante risulta inarrestabile e discontinuo. Questo fenomeno instabile, discontinuo e inarrestabile è una catastrofe cioè un salto da uno stato stabile ad un altro.

 

F ig.    Vi sono due volti umani che non si vedono subito, perché l'apparato visivo privilegia l'ipotesi  che l'oggetto reale presente sia un candelabro.  (Kanizsa, G. Legrenzi, P. Sonino, M., Katz, D., 1946).

 

Altri esempi possono provenire dal mondo animale. Un animale che entra nel territorio di un altro animale scatena una reazione "catastrofica"

Le applicazioni

Negli scritti di Thom si trovano le idee generali che ispirano il suo lavoro matematico, idee che nascono dall’osservazione dei fenomeni naturali. Per Thom la natura è un catalogo di forme che nascono, entrano in conflitto fra loro, muoiono in un continuo divenire. Una particolare forma (di una foglia, di una pietra, di un essere vivente) per poter essere individuata deve essere stabile: piccole perturbazioni non ne devono modificare le caratteristiche essenziali. Dunque, le forme hanno una loro dinamica ed accanto ai domini di stabilità si osservano situazioni nelle quali piccole modifiche provocano grandi effetti: la morfogenesi si occupa di studiare tali processi e i cambiamenti di forma vengono denominati catastrofi . La classificazione delle forme elementari risulta così possibile imponendo non solo la stabilità delle forme ma anche la stabilità del processo di cambiamento.

La tabella seguente riepiloga le catastrofi elementari:

          numero dei fattori di controllo          un solo asse di comportamento          due assi di comportamento

                                  1                                                            piega                                                        -

                                  2                                                          cuspide                                                      -

 

                                  3                                                   coda di rondine                            ombellico iperbolico  

                                                                                                                                                  ombellico ellittico

                               

                                  4                                                           farfalla                                   ombellico parabolico     

 

I nomi delle quattro catastrofi nella seconda colonna sono stati suggeriti dalle caratteristiche visive del grafico che le descrive, mentre i nomi della terza colonna, che sono più difficilmente visualizzabili, sono strettamente matematici. 

 

Le figure seguenti esemplificano le quattro catastrofi qui sopra elencate:

 

 

Il grafico della catastrofe a piega rappresenta il comportamento di tutti i sistemi che dipendono da una sola variabile

 

        

Modello dell'ebollizione e della condensazione realizzato mediante la catastrofe a cuspide.

 

        

Sezione tridimensionale del grafico della catastrofe a coda di rondine.

 

        

Aspetto tridimensionale del grafico di una catastrofe a farfalla.

 

 

Proiezione del grafico di una catastrofe a ombellico iperbolico eseguita dall'elaboratore elettronico.

 

 

Proiezione del grafico di una catastrofe a ombellico ellittico eseguita dall'elaboratore elettronico.

 

 

Proiezione del grafico di una catastrofe a ombelico parabolico eseguita dall'elaboratore elettronico.

 

Un esempio

 

 

Catastrofe a cuspide per valutare l'aggressività del cane

 

Questa figura illustra un  modello di Zeeman, con collera e paura come fattori di controllo e il più probabile grado di aggressione come comportamento risultante. La sola collera induce il cane ad attaccare, la sola paura a sottomettersi o a fuggire; un comportamento neutrale è molto più probabile quando entrambi gli stimoli sono bassi, decisamente improbabile se invece sono alti. Il percorso fra gli stati aggressivi e quelli remissivi può essere sia regolare che discontinuo, e il percorso fra i bassi livelli e gli alti livelli di entrambi gli stimoli passa in prossimità della singolarità, per cui una lieve preponderanza dell'uno piuttosto che dell'altro può produrre una notevole differenza nel comportamento più probabile risultante. Sussmann e Zahier sostengono che il modello di Zeeman è basato su una definizione ambigua di «attacco». Se il salto catastrofico verso l'alto indicasse l'attacco, essi dicono, una linea che raggiungesse la superficie superiore senza un simile salto non produrrebbe alcun attacco: il modello prevede quindi che un cane che non prova paura non attaccherà mai, per quanto rabbioso possa diventare.  Se invece fosse la posizione più alta sulla superficie a indicare l'attacco, Zeeman starebbe creando un continuum comportamentale là dove di fatto non c'è: un attacco è intrinsecamente discontinuo, anche se può esserci una continuità nelle motivazioni. Inoltre, osservano i critici, non c'è alcuna prova per la divergenza che fa parte del modello.     Poiché Zeeman classifica le zone più alte della superficie di comportamento come «di attacco», è chiaro che non identifica con l'attacco la catastrofe superiore in se stessa. È invece l'improvviso cambiamento da uno stato in cui è più probabile la sottomissione a uno in cui diventa più probabile l'aggressione. E poiché dice chiaramente che la superficie di comportamento indica i massimi e i minimi di probabilità (ciò che chiama «funzione di verosimiglianza»), la continuità della superficie significa unicamente che la variazione della probabilità è continua e non — che Zeeman creda nell'esistenza di «mezzi attacchi». Ignorando quanto è scritto sul grafico è possibile asserire che fa una predizione sbagliata; ignorando le ipotesi fatte per tracciarlo è possibile dire che Zeeman ha delle convinzioni assurde. Per quanto concerne la caratteristica della divergenza, essa indica che è necessario conoscere meglio il cane sia per prevederne il comportamento più probabile quando aumentano la collera e la paura sia per prevederne il comportamento quando la variazione riguarda un solo fattore. Chiunque sia più cauto nell'avvicinarsi a un cane sconosciuto piuttosto che a un cane conosciuto ha probabilmente vissuto «l'evidenza sperimentale» a favore di quella divergenza che i critici di Zeeman ritengono non esista.

Non volendo addentrarci nel complesso e controverso mondo delle applicazioni della teoria delle catastrofi, diamo solo qualche breve cenno riguardante il cosiddetto "modello a cuspide".

Esso si può incontrare quando si prendono in considerazione una variabile di stato (z) e due variabili di controllo (x, y): in uno spazio a tre dimensioni si rappresenta la superficie, detta superficie di comportamento, dei punti singolari del sistema analizzato. Sulla superficie di comportamento sono possibili vari movimenti in funzione dei valori che assumono le variabili di controllo.  

Il "salto catastrofico" avverrà in punti differenti a seconda che si adottino rispettivamente la regola di Maxwell (proposta da Thom) oppure la regola del ritardo (proposta da Zeeman). Senza entrare nei particolari segnaliamo che la prima prevede che il salto catastrofico avvenga prima di aver raggiunto il bordo della piega, la seconda prevede che il salto catastrofico avvenga solo raggiunto il bordo della piega. 

 Ancora due caratteristiche del modello a cuspide: da una parte abbiamo la presenza di una regione di inacessibilità corrispondente a punti singolari instabili; dall’altra osserviamo un fenomeno di isteresi, cioè la transizione dal piano superiore a quello inferiore non avviene nello stesso punto in cui avviene quella dal piano inferiore a quello superiore.

Infine, il modello permette di analizzare situazioni di bimodalità, ossia situazioni in cui, a parità di combinazioni delle variabili di controllo, si possono determinare due diverse reazioni di comportamento della variabile di stato, localizzate rispettivamente sul piano inferiore e su quello superiore della piega. 

Conclusioni  

Come già detto  questo modello non ha pretese di esaustività, tuttavia presenta una serie di pregi e difetti che possono essere riassunti come segue.

Pregi:

- Le catastrofi descrivono cambiamenti e passaggi di stato bruschi tra situazioni di stabilità strutturale.  

- A scopo descrittivo questi modelli favoriscono l'immaginazione scientifica;

- Offrono una descrizione sintetica di modificazioni di stati (affettivi, cognitivi).

- Consentono di illustrare la flessibilità dei processi oggetto di studio.

- Aggiungono una nuova dimensione alla valutazione degli schemi di condotta.

- Sono utilizzabili come modelli predittivi (per esempio in clinica).

 

Difetti:

        -  La difficoltà nel loro utilizzo consiste ne fatto che essi sono pluridimensionali e che pertanto sono di difficile comprensione per coloro che non avendo dimestichezza con le funzioni matematiche stentano ad immaginarseli.            

         -  Prevedono un numero limitato di variabili in esame.  

        -  Prendono in considerazione un numero limitato di fattori quindi mostrano una certa ingenuità agli occhi degli specialisti.